Анатолий Кубацкий родился 1 ноября 1908 года В Москве. Из семьи обрусевших поляков. Отец Лев Станиславович (1862 г.р.) — родом из с.Люнды Новогрудской волости Липновского уезда Плоцкой губернии, работал гардеробщиком в камерном театре. Мать — из Архангельской губернии, была домохозяйкой. В семье было шестеро детей — Анатолий был младшим.
С юных лет увлёкся театром, хотя отец был против его актёрской карьеры. Театром Анатолий увлёкся, так как его старший брат участвовал в любительских постановках, а репетиции проводил у себя дома. В школе Анатолий Кубацкий познакомился с Леонидом Варпаховским, Леонидом Пироговым, Марией Мироновой, участвовал в самодеятельности. Театральное образование получил в студии Юрия Завадского, но профессиональные дороги ученика и учителя разошлись в результате неприятного инцидента.
С 1928 года — актер Центрального детского театра.
В кино впервые снялся в 1928 году — это был фильм «Простые сердца».
С 1931 года работал на радио.
В 1942-57 годах был актером Московского театра им.Маяковского.
С 1957 года — актер киностудии им.Горького.
Один из самых «сказочных» актёров отечественного кино. Создал галерею образов всевозможных царей, королей, разбойников и просто чудаковатых стариков. Самые заметные роли — Король Йагупоп 77-й («Королевство кривых зеркал») и Водокрут 13-й («Марья-искусница»).
В 65 лет вышел на пенсию и почти перестал сниматься в кино.
Также много работал на озвучивании мультфильмов и дубляже иностранных фильмов. Последние годы (с 1995 по 2001 годы) провел в Доме ветеранов кино, куда перебрался добровольно.
Ушёл из жизни в Москве 29 декабря 2001 года. Похоронен на Пятницком кладбище Москвы.
